Перш ніж почати опрацьовувати матеріал підручника, приготуй гарненько підструганий простий олівець, а також вигадай зрозумілі для себе позначки, які ти використовуватимеш у тексті. Для прикладу:
! -головна думка, запам'ятати, завчити;
П - просто прочитати;
? - не зрозумів, запитати вчителя, знайти відповідь у словнику, тощо;
Д - довести, не заглядаючи у підручник.
А тепер починаємо працювати.
Пам'ятка
"Як працювати з підручником з математики"
1.Не поспішаючи, вдумливо читаємо весь параграф. Якщо читаєш вперше, не намагайся відразу запам'ятати - це не вірш, а серйозний математичний текст. Якщо у тексті є виділені положення ( вони, зазвичай виділяються або жирним шрифтом, або курсивом. чи особливими значками коло них), на них зупинись і перчитай зо два рази, намагаючись зрозуміти.
2.Під час читання виписуй нові терміни, самостійно роби схематичні малюнки.
3. Прочитавши параграф, спробуй відповісти на запитання, розміщені в кінці параграфа.
4.Якщо в кінці параграфа нема запитань, спробуй сам поставити запитання до тексту і відповісти на них.
5.Якщо під час уроку були зроблені записи, перечитай їх і співстав з тим, що прочитав у підручнику.
6.Зрозумівши опрацьоване, спробуй навести свої приклади на кожне із вивчених тобою правил.
7. Перечитай ще раз матеріал підручника і сміливо приступай до виконання письмової частини домашнього завдання!
Успіхів тобі!
ДЛЯ УЧНІВ 6 КЛАСУ
Подільність чисел
ТЕМА: Дільники натурального числа. Парні і непарні числа. Ознаки подільності на 2, 5, 10.
Множина натуральних чисел поділяється на 3 частини:
1) число 1 (має єдиний дільник);
2) прості числа (мають 2 дільники);
3) складені числа (мають більше 2 дільників).
Ознаки подільності.
"Число ділиться на 10 в тому і тільки в тому випадку, коли його остання цифра дорівнює 0".
"Число ділиться на 5 в тому і тільки в тому випадку, коли воно закінчується цифрою 0 або 5".
"Число ділиться на 2 в тому і тільки в тому випадку, коли воно закінчується парною цифрою".
"Число ділиться на 3 в тому і тільки в тому випадку, коли його сума цифр ділиться на 3".
"Число ділиться на 9 в тому і тільки в тому випадку, коли його сума цифр ділиться на 9".
Перевірка теоретичних знань
В дужках--- відповідь**** треба вивчити***
- Дайте означення кратного і дільника числа. (Якщо натуральне число а ділиться націло на натуральне число b, то число а називають кратним числа b, число b – дільником числа а.)
- Яке число є дільником будь-якого натурального числа? (1)
- Яке число є найбільшим дільником натурального числа? (Найбільшим дільником будь якого натурального числа є саме число.)
- Яке число є найменшим кратним натурального числа? (Найменшим кратним будь-якого натурального числа є саме число.)
- Скільки існує кратних даного натурального числа? (Безліч)
- Які числа називаються простими? (Числа, які мають два дільники: 1 і саме число, називаються простими.)
- Які числа називаються складеними? (Числа, які мають більше двох дільників, називаються складени¬ми.)
- На скільки частин можна поділити множину натуральних чисел в залежності від кількості дільників? (Множина натуральних чисел поділяється на 3 частини: 1) число 1 (має єдиний дільник); 2) прості числа (мають 2 дільники); 3) складені числа (мають більше 2 дільників)).
- Ким було введене поняття простого числа? (Поняття простого числа було введене давньогрецьким вченим Піфагором ще у IV столітті до н.е.)
- Сформулюйте властивість подільності добутку на число. (Якщо одне з двох чисел ділиться на деяке число, то і їх добуток ділиться на це число.)
- Продовжте формулювання властивості подільності: «Якщо перше число ділиться на друге, а друге ділиться на третє, то… ( і перше число ділиться на третє.)
- Сформулюйте властивості подільності суми і різниці на число. (Якщо два числа діляться на деяке число, то їх сума і різниця також діляться на це число. Якщо одне з двох чисел ділиться на деяке число, а інше не ділиться на це число, то їх сума і різниця не діляться на це число.)
- Сформулюйте ознаку подільності на 10. (Число ділиться на 10 в тому і тільки в тому випадку, коли його остання цифра дорівнює 0).
- Сформулюйте ознаку подільності на 5. (Число ділиться на 5 в тому і тільки в тому випадку, коли воно закінчується цифрою 0 або 5).
- Які числа називаються парними? (Числа, запис яких закінчується цифрами 0, 2, 4, 6, 8, називаються парними).
- Які числа називаються непарними? (Числа, запис яких закінчується цифрами 1, 3, 5, 7, 9, називаються непарними).
- Сформулюйте ознаку подільності на 2. (Число ділиться на 2 в тому і тільки в тому випадку, коли воно закінчується парною цифрою).
Розкладання натуральних чисел на прості множники.
При розв'язанні задач часто доводиться подавати дане число у вигляді добутку двох або декількох множників. В такому випадку про число кажуть, що воно розкладене на множники.
Наприклад, запис 40 = 4 × 10 означає, що число 40 розкладене на множники 4 і 10.
Просте число не має "розумного" розкладу на множники: у будь-якому його розкладі один з множників дорівнює 1, а другий - самому цьому числу. Наприклад, 3 = 3 × 1.
Навпаки, складене число завжди розкладається на множники, відмінні від 1, причому, часто різними способами. Так, 40 - це не лише 4×10, а і 4 ×5×2, і 8×5, і 20 × 2 ... Якщо ж у будь-якому з одержаних добутків продовжити розкладання на множники складених чисел, то всі нові добутки будуть відрізнятися тільки порядком множників:
Отже, будь-яке складене число можна розкласти на прості множники єдиним способом (з точністю до порядку множників).
При розкладанні чисел на прості множники використовують ознаки подільності. Якщо числа невеликі, то запис можна вести, як було показано - у рядок. Для великих чисел використовується запис у стовпчик.
Розкладемо, наприклад, на прості множники число 11 550. Воно закінчується нулем, і тому ділиться на 10 (тобто на добуток 2 × 5).
Частка 1155 має суму цифр 12, а отже, ділиться на 3.
Нова частка 385 ділиться на 5, у відповіді виходить 77.
Продовжуючи перебирати прості числа, знаходимо дільники 7 і 11 числа 77, поки у частці не виявиться 1. В підсумку одержимо такий розклад даного числа на прості множники: 11 550 = 2×3×5×5×7×11.
Ми бачимо, таким чином, що термін "складене число" застосований не випадково: складені числа ніби складені з цеглинок -простих чисел.
Перевірка теоретичних знань
В дужках--- відповідь
- Що означає «розкласти число на множники»? (Це означає подати дане число у вигляді добутку двох або декількох множників).
- Сформулюйте ознаку подільності на 6. (Число ділиться на 6 в тому і тільки в тому випадку, коли воно ділиться на 2 і на 3).
- Сформулюйте ознаку подільності на 15. (Число ділиться на 15 в тому і тільки в тому випадку, коли воно ділиться на 3 і на 5).
- Сформулюйте ознаку подільності на 18. (Число ділиться на 18 в тому і тільки в тому випадку, коли воно ділиться на 2 і на 9).
- Сформулюйте ознаку подільності на 30. (Число ділиться на 30 в тому і тільки в тому випадку, коли воно ділиться на 3 і на 10).
- Сформулюйте ознаку подільності на 45. (Число ділиться на 45 в тому і тільки в тому випадку, коли воно ділиться на 5 і на 9).
- Сформулюйте ознаку подільності на 4. (Число ділиться на 4 в тому і тільки в тому випадку, коли на 4 ділиться число, утворене його двома останніми цифрами).
- Сформулюйте ознаку подільності на 8. (Число ділиться на 8 в тому і тільки в тому випадку, коли на 8 ділиться число, утворене його трьома останніми цифрами).
ТЕМА: Спільні дільники кількох чисел. Найбільший спільний дільник (НСД) кількох чисел. Взаємно прості числа. Спільні кратні кількох чисел. Найменше спільне кратне (НСК) кількох чисел.
Всі натуральні числа мають хоч би один спільний дільник - число 1. Проте у деяких чисел можуть бути і інші спільні дільники. Наприклад, числа 24 і 16 мають, крім 1, спільні дільники 2, 4 і 8. Їх найбільшим спільним дільником є число 8.
Отже, найбільше натуральне число, на яке ділиться націло кожне з двох даних натуральних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.
Універсальним способом пошуку НСД є розкладання даних чисел на прості множники.
Знайдемо, наприклад, найбільший спільний дільник чисел 1968 і 2520. Розкладемо їх на прості множники і виділимо найбільше можливе число однакових множників:
1968 =2×2×2×2×3×41=(2×2×2×3) ×2×41, 2520 = 2 ×2 ×2 ×3 × 3 × 5 × 7 = (2 × 2 × 2 × 3) × 3 × 5 × 7.
Обидва дані числа діляться на добуток 2×2×2×3, який дорівнює 24. Більшого спільного дільника цих чисел підібрати не можна - адже всі інші їх прості дільники різні. Отже, НСД (1968, 2520) = 2×2×2×3 = 24.
Приходимо до такого алгоритму знаходження НСД кількох натуральних чисел:
1. Розкласти дані числа на прості множники.
2. З множників, які входять до розкладу одного з них, викреслити ті, які не входять до розкладу інших чисел.
3. Обчислити добуток решти множників, якщо це необхідно.
Приклад 1. Знайти НСД (60, 72, 96).
60 = 2 × 2 ×3 × 5; 72 =2×2×2×3×3; 96 = 2×2×2×2×2×3. НСД (60, 72,96)= 2×2×3 = 12.
Приклад 2. Знайти НСД (56, 81). 56=2×2×2×7; 81=3×3×3×3.
У розкладі чисел 56 і 81 немає однакових множників. Їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Такі числа називаються взаємно простими. Їх найбільший спільний дільник дорівнює 1:НСД (56,81) = 1.
Якщо найбільший спільний дільник двох натуральних чисел дорівнює 1, то їх називають взаємно простими.
Приклад 3. Знайти НСД (45, 450); 45 =3×3×5; 450 = 2×3×3×5×5.
Бачимо, що всі прості множники числа 45 входять до розкладу 450. Дійсно, 450 ділиться на 45, тому 45 і буде найбільшим спільним дільником цих чисел. НСД (45,450)= 45.
Найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з двох даних натуральних чисел, називають найменшим спільним кратним цих чисел.
Знайти найменше спільне кратне можна, перебираючи кратні одного з чисел (краще взяти більше число). Наприклад, НСК (12, 30) можна знайти так:
30 × 1 = 30, число 30 не ділиться на 12, отже, 30 не є НСК (12, 30);
30 × 2 = 60, число 60 ділиться на 12, отже, НСК (12, 30) = 60.
Будь-які два числа мають спільні кратні. Наприклад, добуток 12×30, що дорівнює 360, ділиться і на 12, і на 30. Проте існують і менші числа, кратні 12 і 30 - наприклад, 180, 120, 60. Число 60 є їх найменшим спільним кратним. Найменше спільне кратне чисел а і bпозначається НСК (а, b).
Алгоритмузнаходження НСК:
1. Розкласти дані числа на прості множники.
2. Записати розклад одного з них.
3. Дописати множники, яких не вистачає, з розкладів решти чисел.
4. Знайти одержаний добуток, якщо це необхідно.
У розкладі числа 80 не вистачає множника 7 з розкладу числа 140. Отже, НСК (80,140) =2×2×2×2×5×7 =80×7 = 560.
Приклад 2. Знайти НСК (32, 25). 32= 2×2×2×2×2; 25=5×5.
НСК (32, 25) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 32 × 25 = 800.
Числа 32 і 25 взаємно прості - в їх розкладі немає спільних множників, тому найменше спільне кратне дорівнює їх добутку. І взагалі, найменше спільне кратне взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.
Приклад 3. Знайти НСК (28, 35,140).
28=2×2×7; 35=5×7; 140 =2 ×2 ×5× 7;
НСК (28, 35, 140) = 2 × 2 × 5 × 7 = 140.
Ми вже знаємо, що суму однакових доданків звичайно записують коротше і називають добутком:
а + а + а + а + а = 5а.
Добуток однакових множників також записують коротше і називають степенем:
а × а × а × а × а = а5.
Читають: "а в степені 5" (або просто "а в п'ятому"). При цьому число а називають основою степеня, а число 5 — показником степеня. Основа показує, який множник взяли, а показник - скільки таких множників взяли.
Степенем числа а з натуральним показником п (п > 1) називається добуток п множників, кожний з яких дорівнює а:
n >1
Прийнято вважати, що перший степінь будь-якого числа дорівнює самому цьому числу: а1 = а.
Другий і третій степені числа а мають спеціальну назву. Другий степінь називають квадратом, а третій - кубом числа а. Читають відповідно а2 - "а в квадраті", а3 - "а в кубі".
У виразах, які містять степені, спочатку виконується піднесення до степеня, потім множення і ділення, і після цього додавання і віднімання.
Позначення у вигляді степеня дозволяє коротше записувати розклад числа на прості множники, наприклад:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 24 × 32; 600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 23 × 3 × 52. Тоді спрощуються і правила знаходження НСК і НСД:
1) Щоб знайти НСД, треба взяти спільні прості дільники з найменшими показниками:НСД (144, 600) =23×3=8×3= 24.
2) Щоб знайти НСК, треба взяти всі прості дільники з найбільшими показниками: НСК (144, 60) = 24×32×52 = 16×9× 25 = 3600.
Домашня самостійна робота
1. Випишіть всі прості числа, які більші за 30 і менші за 40.
2. Розкладіть на прості множники число 540.
3. Знайдіть НСД(88; 121; 484) і НСК (88; 121; 484).
ТЕМА: Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота №1.
Тренувальна самостійна робота
Тест Варіант 1
1. Яке з наведених чисел є НСД чисел 210 і 231?
А) 21; Б) 11; В) 7; Г) 3.
2. Знайдіть НСК чисел 6 і 10.
А) 60; Б) 6; В) 30; Г) 10.
3. У якій з поданих пар чисел взаємно прості?
А) 84 і 99; Б) 75 і 77; В) 35 і 45; Г) 220 і 174.
4. Яке з наведених чисел дорівнює сумі НСД та НСК чисел 45 і 60? А) 65; Б) 135; В) 195; Г) 75.
Варіант 2
1. Яке з наведених чисел є НСД чисел 154 і 385?
А) 7; Б) 11; В) 77; Г) 10.
2. Знайдіть НСК чисел 16 і 12.
А) 12; Б) 16; В) 192; Г) 48.
3. У якій з поданих пар чисел взаємно прості?
А) 140 і 220; Б) 63 і 99; В) 70 і 153; Г) 150 і 385.
4. Яке з наведених чисел дорівнює сумі НСД та НСК чисел 225 і 45? А) 180; Б) 270; В) 100; Г) 15.
Самостійна робота
Варіант 1
1. Випишіть всі прості числа, які більші на 10 і менші за 20.
2. Розкладіть на прості множники число 420.
3. Знайдіть НСД(42; 56) і НСК(42; 56).
Варіант 2
1. Випишіть усі прості числа, які більші за 20 і менші за 30.
2. Розкладіть на прості множники число 280.
3. Знайдіть НСД(28; 42) і НСК(28; 42).
1. Тестові завдання
1. В якій парі чисел перше число є дільником другого?
а) 2 і 11; б) 7 і 39; в) 4 і 29; г) 3 і 111.
2. На які з чисел ділиться число 240?
а) на 3 і 4; б) на 3 і 7; в) на 6 і 9; г) на 2, 3 і 7.
3. Скільки різних простих дільників має число 19?
а) один; б) три; в) два; г) чотири.
4. Який найменший простий дільник має число 74?
а) 2; 6)1; в) 74; г) 11.
5. Яку цифру треба написати між цифрами числа 46, щоб утворене в такий спосіб число ділилося на 9?
а) 2; 6)8; в) 3; г) 4.
6. Які з чисел взаємно прості?
а) 3 і 45; б) 12 і 30; в) 7 і 27; г)14 і 4.
7. Яке найменше трицифрове число кратне числам 9 і 13?
а) 117; 6)171; в) 154; г) 145.
8. Скільки в колоні солдатів, якщо їх можна вишикувати в шеренги по 4, 7 і 9 солдатів?
а) 567; 6)504; в) 253; г) 290.
9. Яке число є найбільшим спільним дільником чисел 42 і 105?
а) 6; 6)7; в) 3; г) 21.
10. Яке число є найменшим спільним кратним чисел 12 і 33?
а) 132; 6)66; в) 60; г) 396.
Завдання
1°. Які з чисел 24, 576, 345, 970, 538, 4325, 8211, 1435, 960, 156230 діляться націло: 1) на 2; 2) на 5.
2°. Розкладіть число 2520 на прості множники.
3°. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 1) 15 і 45;
2) 660 і 990.
4°. Знайдіть найменше спільне кратне чисел; 1) 36 і 48;
2) 9 і 14; 3) 210 і 350.
5¢. Установіть, чи є числа 644 і 495 взаємно простими.
6¢. Замість зірочки поставте таку цифру, щоб отримане число було кратне 3 (розгляньте всі можливі випадки): 1) 35*12; 2) 72*331.
Домашня контрольна робота
1°. Із поданих 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 випишіть:
а) прості; б) парні;
в) кратні 5; г) такі, що діляться на 3.
2°. Випишіть усі парні числа першого десятка. Знайдіть їх суму.
3°. Розкладіть на прості множники числа: а)330; 6)4410.
4°. Обчисліть: а) НСД (63, 99); б)НСК (63, 99).
5¢. Обчисліть НСК (216, 360) - НСД (216, 360).
6¢. Дано числа а = 24 × 32 × 54, b = 26 × 33 × 52, с = 23 × 35 × 53. Обчисліть:
а) НСК (а, b, с); б) НСД (а, b, с).
7¢. За допомогою цифр 0, 1 і 5 запишіть усі трицифрові числа, які діляться на 5.
8'. Замініть зірочки цифрами, щоб рівність була правильною:
а) 7 × 5* = **7; 6)6 ×4 × * = **0.
Комментариев нет:
Отправить комментарий